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포스팅 목적
- 행렬에서의 rank 이해
- 선형대수에서 rank 1 array에 대한 이해
- 사다기꼴행렬에 대한 이해
- 가우스 소거법에 대한 이해
개요: 연립방정식과 행렬
행렬을 연립방정식과 연관지어 생각하면
행렬에 실수배를 하거나 위치를 바꾸는 등의 기본행연산을 이해하기 쉽다
예시 연립방정식
x + 2y + z = 5
2x + 4y -3z = 0
x + 2y -z = 1
행렬으로 전환
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
각 방정식에 상수배를 하든, 연립방정식의 위치를 바꾸든 상관 없다는 건 이미 알고있다
즉 행렬에도 똑같이 실수배, 행의 위치 바꾸기가 적용될 수 있다
용어정의
이때 매트릭스에서 각 행의 0이아닌 첫번째 요소를 Leading entry 또는 Pivot이라고 한다
랭크를 확인하기 위해 행사다리꼴 행렬(row echelon form)로 만들어야 하는데
행사다리꼴 행렬은 아래 그림처럼 리딩 엔트리의 아래 열이 모두 0인 행렬을 말한다
이러한 행사다리꼴 행렬로 만들었을 때 전부 0이 아닌 행의 개수를 rank라고 한다
가우스 소거법
행렬을 단순한 행사다리꼴 행렬로 만드는 방법을 말한다
각 행에 실수배를 하거나 위치를 바꿔가며 기본행연산을 수행해 행사다리꼴로 만든다
예시행렬에 대해서
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
step1
첫번째 행에 2를 곱하고 두번째행을 빼주면
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
step2
세번째행은 첫번째행에서 그냥 빼주면
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}
step3
같은 방식으로 2,3행도 정리해주면
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
의 아름다운 행렬이 나온다
결론
이때 피봇이 2개이므로 이 행렬은 rank 2 array가 된다
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